Wiedza i Życie 05/2015
W numerze m.in.:
Klimat
Marsz, marsz po wodę; Andrzej Hołdys

Astronomia
Niezwykłe dzieje pewnego izotopu; Przemek Berg

Wojskowość
Ochrona przed rakietami; Robert Czulda

Ewolucja
Świadkowie zaginionych światów; Marcin Ryszkiewicz

Archeologia
Księżna z bloku; Bartosz Nowacki

Odkrycie w 2011 r. G2, chmury gazu zbliżającej się do czarnej dziury w centrum Drogi Mlecznej, zelektryzowało astronomów. Czarna dziura miała wkrótce w efektowny sposób pochłonąć nieszczęsny obłok. Jednak gorączkowo oczekiwane widowisko się nie odbyło. 

Ukamienowanie to jedna z najstarszych i najbardziej okrutnych kar w historii ludzkości. Niestety praktykowana do dzisiaj.

Chociaż od wielu lat potrafimy zmieniać sekwencję nukleotydów w genach różnych organizmów, dopiero niedawno odkryto wyjątkowo precyzyjne narzędzia, które przedefiniowały to, co jest możliwe w inżynierii genetycznej.

Osiemnastego kwietnia tego roku minęło 60 lat od śmierci jednego z najbardziej rozpoznawalnych uczonych.

Aktualne numery
09/2017
10/2017
Kalendarium
Wrzesień
26
W 1911 r. podczas Międzynarodowego Kongresu Balneologicznego w niemieckim Bad Nauheim po raz pierwszy przyjęto definicję wody mineralnej.
Warto przeczytać
Chwila bez biologii… nie istnieje. W nas i wokół nas kipi życie. Dlaczego by wobec tego nie poznać go bliżej, najlepiej we własnym laboratorium? By nie sięgać daleko, można zacząć od siebie.

WSPÓŁPRACUJEMY
Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Jarosław Chrostowski | dodano: 2012-06-13
Na drabinie wymiarów

(Na zdjęciu: na obrazie „Corpus Hypercubus” Salvador Dali ukrzyżował Chrystusa na siatce hipersześcianu)

Długość, szerokość, wysokość, od niedawna czas. Trzy wymiary przestrzenne i jeden czasowy – tyle dziś potrzebujemy do geometrycznego opisu codzienności. Lecz skąd pewność, że rzeczywistość naprawdę ma cztery wymiary? A przede wszystkim: czym, tak naprawdę, jest wymiar?

Gdy spoglądamy na portrety, namalowane przez Pabla Picassa, charakterystycznie rozmieszczone oczy i nosy postaci kojarzą się nam najczęściej ze sztuką afrykańską. Niewielu pamięta, że w narodzinach kubizmu ważną rolę odgrywał czwarty wymiar, idea niezwykle popularna na przełomie XIX i XX wieku. Wpływ tej fascynacji widać w wielu dziedzinach sztuki. W malarstwie próbowano przedstawiać wszystkie strony trójwymiarowych obiektów równocześnie, a więc tak, jak widziałaby je istota czterowymiarowa. Odwoływano się też do wielowymiarowych konstrukcji geometrycznych, np. na słynnym obrazie Salvadora Dalego „Corpus Hypercubus” Chrystus został ukrzyżowany na bryle, która jest rozwiniętym hipersześcianem. Czwarty wymiar okazał się idealną przyprawą do wszelkiego typu opowiadań i powieści, w tym tak znanych twórców, jak Fiodor Dostojewski, Marcel Proust czy, w kręgu literatury popularnej, Herbert Wells. Uwiarygodniał istnienie świata duchów, pozwalał zaludniać Ziemię pojawiającymi się „znikąd” monstrami. Był też idealnym rozwiązaniem wszelkich problemów związanych z długotrwałością podróży międzygwiezdnych – wystarczyło doń wskoczyć, by moment później pojawić się tysiące lat świetlnych dalej. Potraktowany zaś jako czas, otwierał możliwości podróży w przeszłość i przyszłość, co pozwalało na kreatywne przedstawienie związanych z nimi paradoksów.

Podstawowy problem z innymi wymiarami polega na tym, że nie jesteśmy w stanie dostrzec ich za pomocą zmysłów. Nasze poczucie trójwymiarowości jest wrodzone, instynktowne, bo przez miliony lat mózg ewoluował w środowisku, gdzie główną rolę dla przetrwania osobnika odgrywała percepcja tego, co dziś określamy trzema wymiarami przestrzennymi. Nie potrafimy więc intuicyjnie wyobrazić sobie dodatkowych wymiarów. Czy to oznacza, że znajdują się poza zasięgiem naszego umysłu? (...)

Siła rozciągania

Gdy w geometrii rozciągamy punkt w jednym wymiarze, otrzymujemy odcinek. Gdy odcinek rozciągniemy w kolejnym wymiarze, zobaczymy prostokąt. Gdy ten z kolei wyciągniemy w trzeci wymiar, powstanie prostopadłościan. Możemy więc przypuszczać, że gdy powtórzymy w odpowiedni sposób ten zabieg z sześcianem w czwartym wymiarze, otrzymamy jego czterowymiarowy odpowiednik – hipersześcian. Mimo braku intuicji związanych z kolejnym wymiarem, jesteśmy w stanie dość szybko narysować np. trójwymiarowe rozwinięcie hipersześcianu. Wystarczy przypomnieć sobie, jak wygląda rozwinięcie (siatka) sześcianu: składa się z sześciu kwadratów, które mogą być połączone w kształt krzyża; warunek jest taki, aby po złożeniu każdy bok każdego kwadratu spotkał się z odpowiadającym mu bokiem innego kwadratu. Posługując się tą analogią, można skonstruować siatkę hiperścianu – zespół ośmiu sześcianów uformowanych w bryłę przypominającą krzyż. Takie rozłożenie, nazywane tesseraktem, widzimy na wspomnianym obrazie Dalego. Gdy w czwartym wymiarze połączymy odpowiednie ścianki odpowiednich sześcianów tesseraktu, powstanie hipersześcian.

Gdy myślimy o wymiarach, automatycznie przychodzą nam na myśl osie układu współrzędnych. Jednowymiarową przestrzeń wyobrażamy sobie jako pojedynczą oś. Dwie prostopadłe służą do odtworzenia płaszczyzny, trzy – zwykłej przestrzeni. Znajdujące się na osiach wektory tworzą „bazę” przestrzeni – mnożąc je i dodając, możemy wskazać dowolny jej punkt. Wyobrażenie sobie czterech prostopadłych do siebie wektorów lub osi wykracza poza nasze możliwości. Ale od strony matematycznej nic nie stoi na przeszkodzie, aby tworzyć abstrakcyjne przestrzenie wektorowe, w których liczba wzajemnie prostopadłych osi (a precyzyjniej: ich wektorów bazowych) jest dowolnie duża. Liczbą wymiarów takiej przestrzeni będzie więc liczba wektorów bazy. W tej sytuacji dla odcinka, kwadratu, sześcianu itd. wymiar przyjmuje wartości całkowite.

Nie tylko strzałki

Całkowitość wymiaru nie jest jednak jego nieodłączną cechą. Wszystko zależy od tego, co badamy i jak definiujemy wymiar. Jeśli obiektem naszych zainteresowań będą fraktale, okazuje się, że trudno do nich dopasować którąkolwiek z tradycyjnych definicji wymiaru. Zdefiniowano więc nowe wielkości, wyrażające zazwyczaj zależność między długością fraktala a jego powierzchnią lub objętością. Taki wymiar fraktalny (pojemnościowy) z pewnym przybliżeniem pełni rolę tradycyjnie rozumianego wymiaru i określa, w jaki sposób fraktal wypełnia przestrzeń, w której „żyje”. Co ciekawe, wymiary fraktalne mogą przyjmować wartości ułamkowe. Można nawet wykazać, że np. wśród fraktali na płaszczyźnie znajdziemy obiekty o wymiarze będącym dowolną liczbą rzeczywistą z zakresu od 0 do 2 włącznie.

Z fraktalami wiąże się inne zależności o własnościach wymiaru, takie jak wymiar Hausdorffa, cyrklowy czy pudełkowy. Podobnie postępuje się w innych sytuacjach.

Wymiar doczekał się więc przynajmniej kilkunastu definicji. O tym, którą zastosujemy w odniesieniu do danego fraktala, w praktyce decydują tylko nasze potrzeby.

Zauważmy także, że w matematyce ten sam twór może mieć różną liczbę wymiarów, w zależności od tego, jak na niego patrzymy. Liczby zespolone można traktować jako zbiór jednowymiarowy. Możemy jednak przedstawić je w postaci dwuwymiarowej płaszczyzny z jedną osią rzeczywistą, a drugą – urojoną.

Równie ciekawy jest fakt, że liczba wymiarów nie musi być stała. Potrafimy bowiem definiować przestrzenie, zwane różniczkowymi, w których liczba wymiarów może się zmieniać przy przechodzeniu od jednego punktu do drugiego.
Tu pięć, tam dziesięć, gdzie indziej sto czy tysiąc wymiarów – w ramach jednej przestrzeni różniczkowej to żaden problem. Warto podkreślić, że mimo tak niezwykłych cech, przestrzenie różniczkowe są niezwykle pożytecznymi, znajdującymi coraz więcej zastosowań narzędziami matematycznymi.