nauki ścisłe
Autor: Przemek Berg | dodano: 2013-07-24
Przed nami... nieskończoność

Fot. SergeyNivens/Depositphotos.com

Istnieje fascynująca teoria matematyczna, którą chyba lepiej bliżej się nie zajmować. Wielu matematyków – i to wielkich – poświęciło się jej tworzeniu i popadło w obłęd. To teoria nieskończoności.

Kiedy Pitagorejczycy odkryli istnienie pierwiastka kwadratowego z dwóch i obliczyli jego wynik, uzyskując pierwszą liczbę niewymierną, zburzyło to cały ich porządek rzeczy. Liczba niewymierna to ułamek dziesiętny, który ma po przecinku nieskończenie wiele cyfr. Ponieważ pitagorejczycy uważali, że wszystko jest liczbą – ale tylko liczbą pełną, czyli inaczej naturalną, ewentualnie stosunkiem tych liczb (zwykłym ułamkiem) – odkrycie niewymierności było dla nich szokiem. Pitagoras podobno osobiście nakazał, by odkrycie to na zawsze zataić, ale jeden z członków bractwa, niejaki Hippazos, nie poddał się woli mistrza i wyjawił tajemnicę światu. Na jednym z posiedzeń bractwa Pitagoras, w obecności Hippazosa, wykopał mu grób, po czym uśmiercił nieszczęśnika.

Tak mówi legenda. Śmierć Hippazosa była niepotrzebna, bo 100 lat później, też w Grecji, ponownie odkryto nieskończoność. Dokonali tego eleaci. Sformułowali pierwszą teorię nieskończoności, rozpatrując zagadnienie ruchu (słynne paradoksy Zenona z Elei).

Pomysł Arystotelesa

Z paradoksami Zenona próbował sobie poradzić Arystoteles. Podzielił on pojęcie nieskończoności na dwie kategorie: nieskończoność aktualną i potencjalną. Ta pierwsza dotyczy realnych zjawisk świata, w którym istnieją procesy i rzeczy nieposiadające końca, bo przecież nieskończony jest zbiór liczb i proces ich liczenia, nieskończona jest liczba punktów osi liczbowej lub w przestrzeni itd.

Natomiast pojęcie nieskończoności potencjalnej (Arystoteles zaliczył do niej właśnie paradoksy Zenona) mówi, że coś może być teoretycznie nieskończone, choć realnie nieskończoności tej wcale nie doświadczamy. Realnie wychodzimy z pokoju, chociaż potencjalnie możemy naszą drogę do drzwi dzielić w nieskończoność na kolejne połowy odległości (paradoks Zenona o wyjściu z pokoju, zwany paradoksem dychotomii) i w ten sposób – teoretycznie – nigdy z pokoju nie wyjść. Czyli że istnieją stany i rzeczy, w których zjawisko nieskończoności się pojawia, ale nie ma to dla biegu tych spraw większego znaczenia.

Cantor wkracza na scenę

Od czasów Arystotelesa o nieskończoności zapomniano na dwa tysiąclecia. Pierwszym człowiekiem, który współcześnie otworzył matematyczny pojemnik oznaczony napisem „nieskończoność”, był genialny niemiecki matematyk Georg Cantor. Gdyby wiedział, do czego doprowadzi go studiowanie tego zagadnienia, być może szybko zawróciłby z tej drogi. Cantor samodzielnie stworzył teorię mnogości, nazywaną też teorią zbiorów, co było osiągnięciem epokowym, zważywszy że jest ona dzisiaj – obok logiki, fundamentem wszystkich nauk matematycznych.

Pierwszy ważny dowód Cantora dotyczył liczb wymiernych, czyli zwykłych ułamków.

Zacznijmy od tego, że najprostszym i najbardziej zrozumiałym intuicyjnie zbiorem liczb nieskończonych są liczby naturalne, czyli 1, 2, 3, 4… itd. Liczby te są nieskończone – zawsze nawet do największej z nich można przecież dodać 1 – ale policzalne. Stanowią pierwszy i podstawowy krąg nieskończoności. Cantor wykazał jednak, że także liczby wymierne (ułamki) są policzalne, że można je ustawić w odpowiedni ciąg i każdą ponumerować, każdej przyporządkować liczbę naturalną (tzw. rozumowanie przekątniowe, patrz rysunek poniżej). Czyli ułamki są policzalne! To było ważne odkrycie. Liczby wymierne należą, wraz z naturalnymi, do pierwszego, policzalnego kręgu nieskończoności. Ułamków jest wprawdzie na osi liczbowej znacznie więcej niż liczb naturalnych, ale obie te nieskończoności są takie same. Można je zliczyć. Należą do pierwszego alefu. Cantor tak właśnie nazwał swoje nieskończoności – alefami. W alfabecie hebrajskim alef jest oznaczony symbolem א.

Na tym nie koniec – Cantor spytał następnie, czy także liczby niewymierne można zliczyć. Liczby niewymierne to też ułamki, których nie da się jednak zapisać w prostej postaci ilorazu dwóch liczb. Są to ułamki dziesiętne, nieskończone i nieokresowe, w których po przecinku następuje niemający końca ciąg cyfr nieukładających się w żadną regularność. Cantor odkrył, że za pomocą prostych transformacji można otrzymywać wciąż nowe, różniące się od poprzednich liczby niewymierne i że można to robić bez końca, a więc nie ma żadnej metody ich zliczenia. Liczby niewymierne są więc niepoliczalne.

W ten sposób wpadł na trop hierarchii nieskończoności: liczby naturalne i wymierne należą do pierwszego kręgu nieskończoności, czyli alefu, jednak liczby niewymierne są już daleko liczniejsze od naturalnych oraz wymiernych i tworzą nieskończoność wyższego rzędu – niepoliczalną. Liczb niewymiernych jest na osi liczbowej znacznie więcej niż wymiernych, choć i jedne, i drugie są nieskończone, jednak nieskończoność niepoliczalna przewyższa policzalną. Istnieje zatem hierarchia nieskończoności!

Wielki i nieskończony jest alef zero, który zawiera liczby naturalne, wymierne i algebraiczne, ale już alef jeden, mieszczący w sobie liczby niewymierne, jest o wiele pojemniejszy i dalej sięga sobą w nieskończoność. Czyli nieskończoności mogą być większe i mniejsze, bardziej i mniej pojemne. To dość niezwykłe – wydawałoby się przecież, że nieskończoność to nieskończoność i niewiele da się tu więcej powiedzieć. Tak jednak nie jest – są bowiem różne nieskończoności, bardziej i mniej nieskończone.

Tyle samo sekund co lat

Następnie Cantor natychmiast spytał: o ile alef jeden jest większy od alef zero? I czy א jeden następuje od razu po א zero? A może są między nimi inne alefy? Co jest dalej? Czy istnieją nieskończoności większe od zbioru liczb niewymiernych? Czy istnieje nieskończoność największa? Cantor zaczął pytać, jaki jest rząd nieskończoności dla obiektów o różnych wymiarach. Czyli czy nieskończoności obiektów o różnych wymiarach różnią się między sobą; np. czy na płaszczyźnie jest więcej punktów niż na prostej.

Intuicja podpowiadała, że tak właśnie jest, a jednak Cantorowi udało się dowieść, że wcale nie. Punkty na płaszczyźnie można zliczyć i ponumerować, używając współrzędnych kartezjańskich. Każdemu punktowi na płaszczyźnie odpowiada para współrzędnych składających się z wartości x i wartości y. To wie każdy. Można jednak – zdaniem Cantora – przeprowadzić prostą transformację, która w sposób jednoznaczny przekształci punkt z płaszczyzny, a więc parę współrzędnych x, y w punkt na prostej, a punkt ten będzie oznaczony liczbą, w której dziesiętnym rozwinięciu wystąpią: wartość x i wartość y. Będzie to więc zero, a po przecinku wartość x i wartość y. W ten sposób każdy punkt płaszczyzny, wyznaczony przez parę liczb, ma swojego wiernego przedstawiciela na odcinku linii prostej, a to oznacza, że punktów na płaszczyźnie jest dokładnie tyle samo, ile na prostej, chociaż i na jednej, i na drugiej jest ich oczywiście nieskończenie wiele.

Dalej okazało się, że prosta ma tyle samo punktów co obiekty dwu-, trzy-, cztero – czy stuwymiarowe, a więc że wyższe wymiary nie powiększają wcale nieskończoności obiektów, które do nich należą, że wszystkie są w równym stopniu niepoliczalne! Cantor był tak zaskoczony swoim odkryciem, że w liście z czerwca 1877 r., pisanym do swojego przyjaciela – Dedekinda, także matematyka – stwierdził: „Widzę, ale nie mogę uwierzyć w to, co widzę”. Jego odkrycie można zilustrować w sposób następujący: w nieskończonej odległości jest tyle samo milimetrów, ile centymetrów, metrów lub kilometrów, a w nieskończonym czasie tyle samo sekund, ile minut, godzin, dni, lat itd.

Więcej w miesięczniku „Wiedza i Życie" nr 08/2013 »
Drukuj »
Komentarze
Dodany przez: Integer | 2013-07-30
Takich bzdur jak w tym artykule już dawno nie czytałem :|... Tak to jest jak, ktoś nie znający się na matematyce pisze artykuł o jej kawałku.
"Zacznijmy od tego, że najprostszym i najbardziej zrozumiałym intuicyjnie zbiorem liczb nieskończonych są liczby naturalne, czyli 1, 2, 3, 4… itd. Liczby te są nieskończone – zawsze nawet do największej z nich można przecież dodać 1"

Liczby naturalne nie są nieskończone! Zbiór liczb naturalnych jest nieskończony...

 "Cantor wykazał jednak, że także liczby wymierne (ułamki) są policzalne, że można je ustawić w odpowiedni ciąg i każdą ponumerować, każdej przyporządkować liczbę naturalną (tzw. rozumowanie przekątniowe, patrz rysunek poniżej)."

Rozumowanie przekątniowe to zupełnie co innego!

"Cantor odkrył, że za pomocą prostych transformacji można otrzymywać wciąż nowe, różniące się od poprzednich liczby niewymierne i że można to robić bez końca, a więc nie ma żadnej metody ich zliczenia. Liczby niewymierne są więc niepoliczalne."

Następna głupota... to żaden dowód. Cantor tak tego nie pokazywał.

Nie mówiąc już o bezsensownym połączeniu faktu odkrycia liczb niewymiernych z nieskończonością.
Aktualne numery
05/2020
04/2020
Kalendarium
Maj
25
W 1965 r. został wystrzelony amerykański satelita Pegasus 2.
Warto przeczytać
Ta książka to praktyczny poradnik jak mniej marnować. Możesz wyrzucać aż o 80 procent mniej rzeczy, wydawać mniej pieniędzy - i pełniej żyć! To także refleksja nad tym, w jaki sposób można zacząć działać na rzecz środowiska

WSPÓŁPRACUJEMY
Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Przemek Berg | dodano: 2013-07-24
Przed nami... nieskończoność

Fot. SergeyNivens/Depositphotos.com

Istnieje fascynująca teoria matematyczna, którą chyba lepiej bliżej się nie zajmować. Wielu matematyków – i to wielkich – poświęciło się jej tworzeniu i popadło w obłęd. To teoria nieskończoności.

Kiedy Pitagorejczycy odkryli istnienie pierwiastka kwadratowego z dwóch i obliczyli jego wynik, uzyskując pierwszą liczbę niewymierną, zburzyło to cały ich porządek rzeczy. Liczba niewymierna to ułamek dziesiętny, który ma po przecinku nieskończenie wiele cyfr. Ponieważ pitagorejczycy uważali, że wszystko jest liczbą – ale tylko liczbą pełną, czyli inaczej naturalną, ewentualnie stosunkiem tych liczb (zwykłym ułamkiem) – odkrycie niewymierności było dla nich szokiem. Pitagoras podobno osobiście nakazał, by odkrycie to na zawsze zataić, ale jeden z członków bractwa, niejaki Hippazos, nie poddał się woli mistrza i wyjawił tajemnicę światu. Na jednym z posiedzeń bractwa Pitagoras, w obecności Hippazosa, wykopał mu grób, po czym uśmiercił nieszczęśnika.

Tak mówi legenda. Śmierć Hippazosa była niepotrzebna, bo 100 lat później, też w Grecji, ponownie odkryto nieskończoność. Dokonali tego eleaci. Sformułowali pierwszą teorię nieskończoności, rozpatrując zagadnienie ruchu (słynne paradoksy Zenona z Elei).

Pomysł Arystotelesa

Z paradoksami Zenona próbował sobie poradzić Arystoteles. Podzielił on pojęcie nieskończoności na dwie kategorie: nieskończoność aktualną i potencjalną. Ta pierwsza dotyczy realnych zjawisk świata, w którym istnieją procesy i rzeczy nieposiadające końca, bo przecież nieskończony jest zbiór liczb i proces ich liczenia, nieskończona jest liczba punktów osi liczbowej lub w przestrzeni itd.

Natomiast pojęcie nieskończoności potencjalnej (Arystoteles zaliczył do niej właśnie paradoksy Zenona) mówi, że coś może być teoretycznie nieskończone, choć realnie nieskończoności tej wcale nie doświadczamy. Realnie wychodzimy z pokoju, chociaż potencjalnie możemy naszą drogę do drzwi dzielić w nieskończoność na kolejne połowy odległości (paradoks Zenona o wyjściu z pokoju, zwany paradoksem dychotomii) i w ten sposób – teoretycznie – nigdy z pokoju nie wyjść. Czyli że istnieją stany i rzeczy, w których zjawisko nieskończoności się pojawia, ale nie ma to dla biegu tych spraw większego znaczenia.

Cantor wkracza na scenę

Od czasów Arystotelesa o nieskończoności zapomniano na dwa tysiąclecia. Pierwszym człowiekiem, który współcześnie otworzył matematyczny pojemnik oznaczony napisem „nieskończoność”, był genialny niemiecki matematyk Georg Cantor. Gdyby wiedział, do czego doprowadzi go studiowanie tego zagadnienia, być może szybko zawróciłby z tej drogi. Cantor samodzielnie stworzył teorię mnogości, nazywaną też teorią zbiorów, co było osiągnięciem epokowym, zważywszy że jest ona dzisiaj – obok logiki, fundamentem wszystkich nauk matematycznych.

Pierwszy ważny dowód Cantora dotyczył liczb wymiernych, czyli zwykłych ułamków.

Zacznijmy od tego, że najprostszym i najbardziej zrozumiałym intuicyjnie zbiorem liczb nieskończonych są liczby naturalne, czyli 1, 2, 3, 4… itd. Liczby te są nieskończone – zawsze nawet do największej z nich można przecież dodać 1 – ale policzalne. Stanowią pierwszy i podstawowy krąg nieskończoności. Cantor wykazał jednak, że także liczby wymierne (ułamki) są policzalne, że można je ustawić w odpowiedni ciąg i każdą ponumerować, każdej przyporządkować liczbę naturalną (tzw. rozumowanie przekątniowe, patrz rysunek poniżej). Czyli ułamki są policzalne! To było ważne odkrycie. Liczby wymierne należą, wraz z naturalnymi, do pierwszego, policzalnego kręgu nieskończoności. Ułamków jest wprawdzie na osi liczbowej znacznie więcej niż liczb naturalnych, ale obie te nieskończoności są takie same. Można je zliczyć. Należą do pierwszego alefu. Cantor tak właśnie nazwał swoje nieskończoności – alefami. W alfabecie hebrajskim alef jest oznaczony symbolem א.

Na tym nie koniec – Cantor spytał następnie, czy także liczby niewymierne można zliczyć. Liczby niewymierne to też ułamki, których nie da się jednak zapisać w prostej postaci ilorazu dwóch liczb. Są to ułamki dziesiętne, nieskończone i nieokresowe, w których po przecinku następuje niemający końca ciąg cyfr nieukładających się w żadną regularność. Cantor odkrył, że za pomocą prostych transformacji można otrzymywać wciąż nowe, różniące się od poprzednich liczby niewymierne i że można to robić bez końca, a więc nie ma żadnej metody ich zliczenia. Liczby niewymierne są więc niepoliczalne.

W ten sposób wpadł na trop hierarchii nieskończoności: liczby naturalne i wymierne należą do pierwszego kręgu nieskończoności, czyli alefu, jednak liczby niewymierne są już daleko liczniejsze od naturalnych oraz wymiernych i tworzą nieskończoność wyższego rzędu – niepoliczalną. Liczb niewymiernych jest na osi liczbowej znacznie więcej niż wymiernych, choć i jedne, i drugie są nieskończone, jednak nieskończoność niepoliczalna przewyższa policzalną. Istnieje zatem hierarchia nieskończoności!

Wielki i nieskończony jest alef zero, który zawiera liczby naturalne, wymierne i algebraiczne, ale już alef jeden, mieszczący w sobie liczby niewymierne, jest o wiele pojemniejszy i dalej sięga sobą w nieskończoność. Czyli nieskończoności mogą być większe i mniejsze, bardziej i mniej pojemne. To dość niezwykłe – wydawałoby się przecież, że nieskończoność to nieskończoność i niewiele da się tu więcej powiedzieć. Tak jednak nie jest – są bowiem różne nieskończoności, bardziej i mniej nieskończone.

Tyle samo sekund co lat

Następnie Cantor natychmiast spytał: o ile alef jeden jest większy od alef zero? I czy א jeden następuje od razu po א zero? A może są między nimi inne alefy? Co jest dalej? Czy istnieją nieskończoności większe od zbioru liczb niewymiernych? Czy istnieje nieskończoność największa? Cantor zaczął pytać, jaki jest rząd nieskończoności dla obiektów o różnych wymiarach. Czyli czy nieskończoności obiektów o różnych wymiarach różnią się między sobą; np. czy na płaszczyźnie jest więcej punktów niż na prostej.

Intuicja podpowiadała, że tak właśnie jest, a jednak Cantorowi udało się dowieść, że wcale nie. Punkty na płaszczyźnie można zliczyć i ponumerować, używając współrzędnych kartezjańskich. Każdemu punktowi na płaszczyźnie odpowiada para współrzędnych składających się z wartości x i wartości y. To wie każdy. Można jednak – zdaniem Cantora – przeprowadzić prostą transformację, która w sposób jednoznaczny przekształci punkt z płaszczyzny, a więc parę współrzędnych x, y w punkt na prostej, a punkt ten będzie oznaczony liczbą, w której dziesiętnym rozwinięciu wystąpią: wartość x i wartość y. Będzie to więc zero, a po przecinku wartość x i wartość y. W ten sposób każdy punkt płaszczyzny, wyznaczony przez parę liczb, ma swojego wiernego przedstawiciela na odcinku linii prostej, a to oznacza, że punktów na płaszczyźnie jest dokładnie tyle samo, ile na prostej, chociaż i na jednej, i na drugiej jest ich oczywiście nieskończenie wiele.

Dalej okazało się, że prosta ma tyle samo punktów co obiekty dwu-, trzy-, cztero – czy stuwymiarowe, a więc że wyższe wymiary nie powiększają wcale nieskończoności obiektów, które do nich należą, że wszystkie są w równym stopniu niepoliczalne! Cantor był tak zaskoczony swoim odkryciem, że w liście z czerwca 1877 r., pisanym do swojego przyjaciela – Dedekinda, także matematyka – stwierdził: „Widzę, ale nie mogę uwierzyć w to, co widzę”. Jego odkrycie można zilustrować w sposób następujący: w nieskończonej odległości jest tyle samo milimetrów, ile centymetrów, metrów lub kilometrów, a w nieskończonym czasie tyle samo sekund, ile minut, godzin, dni, lat itd.