nauki ścisłe
Autor: Paweł Strzelecki | dodano: 2012-07-05
Milion za twoje myśli

(Na zdjęciu: dwuwymiarowy odpowiednik trójwymiarowej geometrii hiperbolicznej)

Tyle dolarów zaoferowano 18 marca 2010 roku Grigorijowi Jakowlewiczowi Perelmanowi, genialnemu odludkowi, który żyje skromnie gdzieś w Sankt Petersburgu. Ściślej mówiąc, nawet nie za wszystkie jego przemyślenia, tylko za ascetycznie zwięzły opis pewnej egzotycznej wędrówki, jaką niektóre z nich odbyły. Perelman nagrody nie przyjął.

Grigorij Jakowlewicz udostępnił ów opis w trzech odcinkach, między listopadem 2002 a lipcem 2003 roku. Wielu ekspertów podążyło tym samym tropem i uznało, że choć Perelman był oszczędny w słowach, to wędrówka jest możliwa, a opisu nie trzeba zmieniać; tylko ewentualnie dodać doń nieco szczegółów. Prawie nikt nie spodziewał się, że cel wyprawy - wytyczony przez pewnego Francuza ponad 100 lat temu, wskutek rozmyślań nad tym, dlaczego nadmuchana piłka wygląda zupełnie inaczej od rowerowej dętki i precelków z piekarni znajomego Alzatczyka - uda się osiągnąć akurat taką zaskakującą drogą.

Perelman odmówił przyjęcia pieniędzy, choć Landon T. Clay, amerykański milioner, gotów był dzielić się nimi zupełnie dobrowolnie, co obwieścił publicznie w maju roku 2000. Tu chciałbym zastrzec, że Perelman i Clay są jak najbardziej prawdziwi, podobnie jak milion oraz przytoczone daty, i że redaktorzy czasopisma „Science" uznali Perelmana opis wędrówki w krainie wyobraźni za najważniejsze osiągnięcie nauki w 2006 roku. Trudno więc podejrzewać, że Clay jest dziwakiem, osamotnionym w ocenie.

Nie wziął miliona dolarów... bulwersujące, prawda? Przecież, jak mówią sąsiedzi Grigorija Jakowlewicza, w jego mieszkaniu żyją karaluchy. Wstukanie w Google słów „Perelman", „karaluchy", „milion" daje jakieś 600 wyników, gdy to samo wpiszemy po angielsku, wyników będzie kilkanaście tysięcy. Zły sen? Czy obraz matematyki i matematyków w oczach popularnych mediów i ich odbiorców? Uszczypnijmy się w policzek i zacznijmy od początku.

Siedem sposobów na kasę
W 1904 roku Henri Poincaré, słynny francuski matematyk, wysunął hipotezę, dotyczącą tzw. trójwymiarowych rozmaitości, to znaczy różnych możliwych form przestrzeni:

„Każda zwarta i jednospójna trójwymiarowa rozmaitość M bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową".

Przez mniej więcej 100 lat różni matematycy bezskutecznie próbowali to przypuszczenie udowodnić. Pod koniec XX wieku było jasne, że hipoteza Poincarégo należy do najpoważniejszych problemów otwartych całej matematyki. Dlatego w 2000 roku umieszczono ją na liście siedmiu tzw. problemów milenijnych Instytutu Claya. Za rozwiązanie każdego z nich Instytut zaoferował nagrodę w wysokości miliona dolarów. Wiele osób, które skończyły studia matematyczne, zgodziłoby się zapewne z poglądem, że są łatwiejsze sposoby zarobienia miliona dolarów niż rozwiązywanie problemów milenijnych, bo są to zagadnienia piekielnie trudne. Hipotezę Poincarégo matematycy uznają dziś, właśnie za sprawą Perelmana, już nie za przypuszczenie, ale za udowodnione twierdzenie (pozostała szóstka problemów wciąż czeka na rozwiązanie).

W komunikacie, wydanym przez Instytut Claya 11 czerwca 2010 roku, z okazji dorocznej konferencji organizowanej w Paryżu, możemy przeczytać:

„Instytut Claya nie planuje przeznaczać funduszy Nagrody Milenijnej dla doktora Perelmana na żaden inny cel; chcemy z szacunkiem poczekać na jego decyzję. Nie ustalamy żadnego terminu, w jakim owa decyzja powinna zapaść. Nie wspominamy również teraz, ani nie planujemy wspominać w przyszłości, o możliwych sposobach użycia tych funduszy. (...) Liczy się jedno: wielki dar, który dał nam wszystkim Perelman, dowodząc stuletniej hipotezy Poincarégo, a także hipotezy geometryzacyjnej Thurstona".

Komunikat odsyła do tekstów laudacji, które wygłosiło pięciu znanych matematyków: Andrew Wiles (autor dowodu wielkiego twierdzenia Fermata), sir Michael Atiyah, profesor uniwersytetu w Oksfordzie, Simon Donaldson, również profesor z Oksfordu, William Thurston, profesor uniwersytetu w Princeton, oraz Michaił Gromow, matematyk rosyjskiego pochodzenia, pracujący we Francji. To sławni, wielcy ludzie i dobór tej piątki świadczy o szacunku, jakim świat matematyków darzy osiągnięcie Perelmana. Charakter i skalę jego wyników dobrze oddał Gromow, używając w swojej laudacji porównania, które przytoczę tu w możliwie wiernym przekładzie.

„Otóż, wyobraźmy sobie, że nie znamy geografii Ziemi i nie mamy globusa; wysyłamy jedną po drugiej ekspedycje, które wracają z wieściami o nowych lądach. Stopniowo odkrywamy sześć kontynentów. Wysyłamy setki kolejnych ekspedycji, które nie są już w stanie odkryć żadnych nowych lądów. Wysuwamy więc przypuszczenie, że innych wielkich lądów na Ziemi po prostu już nie ma; odpowiednikami takiego przypuszczenia były w matematyce hipotezy Poincarégo i Thurstona. Wynik Perelmana to coś więcej, niż dowód obu hipotez; to - wracając do porównań - dojrzały i kompletny opis geologii i tektoniki skorupy ziemskiej; opis, który mapę świata i dzisiejszy układ lądów na globusie pozwala łatwo zrekonstruować, jako wniosek z głębszej, technicznej wiedzy zupełnie innego rodzaju"

Trudny skok w trzeci wymiar
Żeby spróbować wyjaśnić dziwne słowa „zwarta", „jednospójna", „homeomorficzna", „rozmaitość", „bez brzegu", użyte w krótkim, ale hermetycznym sformułowaniu hipotezy Poincarégo, zajmiemy się najpierw obiektami prostszymi niż rozmaitości trójwymiarowe, ale za to bardziej uchwytnymi: powierzchniami w przestrzeni trójwymiarowej. Matematyk nazywa je inaczej rozmaitościami dwuwymiarowymi. Przykładami powierzchni są: płaszczyzna; sfera, czyli powierzchnia piłki; wreszcie, torus, czyli powierzchnia dętki rowerowej. Torus i sfera są, w przeciwieństwie do płaszczyzny, zwarte: jeśli zaczniemy na ich powierzchni mierzyć odległość, to wszystkie wyniki pomiarów nie będą przekraczać pewnej ustalonej liczby, a ponadto na żadnej z tych powierzchni nie ma szczelin, dziurek czy luk, w które mogłaby wpaść, powiedzmy, spacerująca po nich mrówka. Żadna z obu powierzchni nie ma też brzegu, to znaczy takich miejsc, gdzie spacerująca mrówka stwierdziłaby, że nie jest w stanie kontynuować wędrówki w jakimś wybranym kierunku.

Każdy jednak, kto wie, że łatwiej jest chwycić jedną ręką nadmuchaną dętkę niż nadmuchaną plażową piłkę, intuicyjnie rozumie, że torus różni się od sfery w bardzo istotny sposób. Matematyk mówi, że sfera jest powierzchnią rodzaju zero, a torus - powierzchnią rodzaju jeden. I wie, że obie nie są homeomorficzne, to znaczy jednej z nich nie można przekształcić w drugą w sposób wzajemnie jednoznaczny, bez sklejania ani bez rozrywania powierzchni.

Aby oswoić się z pojęciem homeomorfizmu, spójrzmy na przykłady. Powierzchnia sfery obrotowej, czyli piłki idealnie nadmuchanej, jest homeomorficzna z powierzchnią piłki, z której spuszczono powietrze. Powierzchnia torusa obrotowego, to znaczy nadmuchanej dętki rowerowej, jest z dokładnością do homeomorfizmu tym samym, co powierzchnia kubka z jednym uchem. To też nie tak trudno zrozumieć: gdyby powierzchnia kubka nie była z porcelany, tylko z idealnie elastycznej i rozciągliwej gumy, a wewnątrz ścianek i ucha było powietrze, to łatwo byłoby przekształcić tę powierzchnię w powierzchnię dętki, nic przy tym nie rozcinając ani nie sklejając.

Próby wyobrażenia sobie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia, które ze sfery pozwoliłoby zrobić - bez rozcięć i bez sklejeń! - torus, są skazane na porażkę. Ściślej: wprawdzie niedostatki wyobraźni nie są zamiennikiem ścisłych dowodów, ale matematyk potrafi przytoczyć argument, który odwołuje się do jednospójności.

Otóż sfera jest jednospójna. To znaczy, że składa się z jednego kawałka (co każdy widzi), a ponadto każdą krzywą zamkniętą położoną na jej powierzchni można płynnie, w sposób ciągły i bez rozrywania, zdeformować - czasami mówi się ściągnąć - do punktu. Nietrudno to sobie wyobrazić: wybieramy którykolwiek punkt krzywej i każdy inny punkt krzywej płynnie ciągniemy w stronę wybrańca, z taką prędkością, żeby całą operację ściągania zakończyć w z góry ustalonym czasie, tzn. tak, aby wszystkie ściągane punkty jednocześnie dotarły do celu podróży. Krzywa zmienia się w sposób ciągły i nic nie powoduje jej rozrywania.

Natomiast torus nie jest jednospójny. Wprawdzie też, jak sfera, składa się z jednego kawałka, ale są na nim krzywe zamknięte, których nie można ściągnąć do punktu. Jest np. taką krzywą mały okrąg, wzdłuż którego możemy uchwycić dętkę kciukiem i palcem wskazującym, obejmując ją dookoła tak, że czubki obu palców się dotykają. Krzywą nieściągalną na torusie jest również inny okrąg - ten, wzdłuż którego nadmuchana dętka dotyka obręczy koła rowerowego. Intuicyjnie jest jasne, że żadne próby deformowania tych krzywych nie pozwolą płynnie i bez rozrywania ściągnąć ich do punktu. Żeby wypuścić trzymaną dętkę, trzeba najpierw rozłączyć zaciśnięte wokół niej palce.

Można wykazać, że każdy homeomorfizm zachowuje jednospójność. To niezbyt trudne zadanie. Jeśli zatem coś - cokolwiek, stół, stołek albo kufel z piwem, byle spełniało aksjomaty, jak mówił Hilbert - nie jest jednospójne, to z pewnością nie jest homeomorficzne z powierzchnią sfery dwuwymiarowej. Sfera i torus nie są jedynymi zwartymi powierzchniami - rozmaitościami dwuwymiarowymi - bez brzegu. Początek pełnego katalogu wszystkich powierzchni, z dokładnością do homeomorfizmu, możemy zobaczyć poniżej. Poszczególne powierzchnie uzyskujemy przez doklejanie do sfery kolejnych rączek; łatwo więc sobie wyobrazić, jak wygląda cały katalog.

W drugiej połowie XIX wieku matematycy dobrze wiedzieli, że innych zwartych powierzchni bez brzegu nie ma. Co więcej, jest rzeczą jasną, że wśród wszystkich powierzchni tylko sfera jest jednospójna. Na każdej innej powierzchni jest wiele krzywych, których nie można ściągnąć do punktu. Tego m.in. uczy się dziś praktycznie wszystkich studentów matematyki na świecie, zwykle na drugim lub trzecim roku studiów.


Więcej w miesięczniku „Wiedza i Życie" nr 08/2010 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
07/2020
06/2020
Kalendarium
Lipiec
10
W 1865 r. we Wrocławiu założono Ogród Zoologiczny.
Warto przeczytać
Fizyka kwantowa jest dziwna. Reguły świata kwantowego, według których działa świat na poziomie atomów i cząstek subatomowych, nie są tymi samymi regułami, które obowiązują w dobrze znanym nam świecie codziennych doświadczeń - regułami, które kojarzymy ze zdrowym rozsądkiem.

WSPÓŁPRACUJEMY
Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Paweł Strzelecki | dodano: 2012-07-05
Milion za twoje myśli

(Na zdjęciu: dwuwymiarowy odpowiednik trójwymiarowej geometrii hiperbolicznej)

Tyle dolarów zaoferowano 18 marca 2010 roku Grigorijowi Jakowlewiczowi Perelmanowi, genialnemu odludkowi, który żyje skromnie gdzieś w Sankt Petersburgu. Ściślej mówiąc, nawet nie za wszystkie jego przemyślenia, tylko za ascetycznie zwięzły opis pewnej egzotycznej wędrówki, jaką niektóre z nich odbyły. Perelman nagrody nie przyjął.

Grigorij Jakowlewicz udostępnił ów opis w trzech odcinkach, między listopadem 2002 a lipcem 2003 roku. Wielu ekspertów podążyło tym samym tropem i uznało, że choć Perelman był oszczędny w słowach, to wędrówka jest możliwa, a opisu nie trzeba zmieniać; tylko ewentualnie dodać doń nieco szczegółów. Prawie nikt nie spodziewał się, że cel wyprawy - wytyczony przez pewnego Francuza ponad 100 lat temu, wskutek rozmyślań nad tym, dlaczego nadmuchana piłka wygląda zupełnie inaczej od rowerowej dętki i precelków z piekarni znajomego Alzatczyka - uda się osiągnąć akurat taką zaskakującą drogą.

Perelman odmówił przyjęcia pieniędzy, choć Landon T. Clay, amerykański milioner, gotów był dzielić się nimi zupełnie dobrowolnie, co obwieścił publicznie w maju roku 2000. Tu chciałbym zastrzec, że Perelman i Clay są jak najbardziej prawdziwi, podobnie jak milion oraz przytoczone daty, i że redaktorzy czasopisma „Science" uznali Perelmana opis wędrówki w krainie wyobraźni za najważniejsze osiągnięcie nauki w 2006 roku. Trudno więc podejrzewać, że Clay jest dziwakiem, osamotnionym w ocenie.

Nie wziął miliona dolarów... bulwersujące, prawda? Przecież, jak mówią sąsiedzi Grigorija Jakowlewicza, w jego mieszkaniu żyją karaluchy. Wstukanie w Google słów „Perelman", „karaluchy", „milion" daje jakieś 600 wyników, gdy to samo wpiszemy po angielsku, wyników będzie kilkanaście tysięcy. Zły sen? Czy obraz matematyki i matematyków w oczach popularnych mediów i ich odbiorców? Uszczypnijmy się w policzek i zacznijmy od początku.

Siedem sposobów na kasę
W 1904 roku Henri Poincaré, słynny francuski matematyk, wysunął hipotezę, dotyczącą tzw. trójwymiarowych rozmaitości, to znaczy różnych możliwych form przestrzeni:

„Każda zwarta i jednospójna trójwymiarowa rozmaitość M bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową".

Przez mniej więcej 100 lat różni matematycy bezskutecznie próbowali to przypuszczenie udowodnić. Pod koniec XX wieku było jasne, że hipoteza Poincarégo należy do najpoważniejszych problemów otwartych całej matematyki. Dlatego w 2000 roku umieszczono ją na liście siedmiu tzw. problemów milenijnych Instytutu Claya. Za rozwiązanie każdego z nich Instytut zaoferował nagrodę w wysokości miliona dolarów. Wiele osób, które skończyły studia matematyczne, zgodziłoby się zapewne z poglądem, że są łatwiejsze sposoby zarobienia miliona dolarów niż rozwiązywanie problemów milenijnych, bo są to zagadnienia piekielnie trudne. Hipotezę Poincarégo matematycy uznają dziś, właśnie za sprawą Perelmana, już nie za przypuszczenie, ale za udowodnione twierdzenie (pozostała szóstka problemów wciąż czeka na rozwiązanie).

W komunikacie, wydanym przez Instytut Claya 11 czerwca 2010 roku, z okazji dorocznej konferencji organizowanej w Paryżu, możemy przeczytać:

„Instytut Claya nie planuje przeznaczać funduszy Nagrody Milenijnej dla doktora Perelmana na żaden inny cel; chcemy z szacunkiem poczekać na jego decyzję. Nie ustalamy żadnego terminu, w jakim owa decyzja powinna zapaść. Nie wspominamy również teraz, ani nie planujemy wspominać w przyszłości, o możliwych sposobach użycia tych funduszy. (...) Liczy się jedno: wielki dar, który dał nam wszystkim Perelman, dowodząc stuletniej hipotezy Poincarégo, a także hipotezy geometryzacyjnej Thurstona".

Komunikat odsyła do tekstów laudacji, które wygłosiło pięciu znanych matematyków: Andrew Wiles (autor dowodu wielkiego twierdzenia Fermata), sir Michael Atiyah, profesor uniwersytetu w Oksfordzie, Simon Donaldson, również profesor z Oksfordu, William Thurston, profesor uniwersytetu w Princeton, oraz Michaił Gromow, matematyk rosyjskiego pochodzenia, pracujący we Francji. To sławni, wielcy ludzie i dobór tej piątki świadczy o szacunku, jakim świat matematyków darzy osiągnięcie Perelmana. Charakter i skalę jego wyników dobrze oddał Gromow, używając w swojej laudacji porównania, które przytoczę tu w możliwie wiernym przekładzie.

„Otóż, wyobraźmy sobie, że nie znamy geografii Ziemi i nie mamy globusa; wysyłamy jedną po drugiej ekspedycje, które wracają z wieściami o nowych lądach. Stopniowo odkrywamy sześć kontynentów. Wysyłamy setki kolejnych ekspedycji, które nie są już w stanie odkryć żadnych nowych lądów. Wysuwamy więc przypuszczenie, że innych wielkich lądów na Ziemi po prostu już nie ma; odpowiednikami takiego przypuszczenia były w matematyce hipotezy Poincarégo i Thurstona. Wynik Perelmana to coś więcej, niż dowód obu hipotez; to - wracając do porównań - dojrzały i kompletny opis geologii i tektoniki skorupy ziemskiej; opis, który mapę świata i dzisiejszy układ lądów na globusie pozwala łatwo zrekonstruować, jako wniosek z głębszej, technicznej wiedzy zupełnie innego rodzaju"

Trudny skok w trzeci wymiar
Żeby spróbować wyjaśnić dziwne słowa „zwarta", „jednospójna", „homeomorficzna", „rozmaitość", „bez brzegu", użyte w krótkim, ale hermetycznym sformułowaniu hipotezy Poincarégo, zajmiemy się najpierw obiektami prostszymi niż rozmaitości trójwymiarowe, ale za to bardziej uchwytnymi: powierzchniami w przestrzeni trójwymiarowej. Matematyk nazywa je inaczej rozmaitościami dwuwymiarowymi. Przykładami powierzchni są: płaszczyzna; sfera, czyli powierzchnia piłki; wreszcie, torus, czyli powierzchnia dętki rowerowej. Torus i sfera są, w przeciwieństwie do płaszczyzny, zwarte: jeśli zaczniemy na ich powierzchni mierzyć odległość, to wszystkie wyniki pomiarów nie będą przekraczać pewnej ustalonej liczby, a ponadto na żadnej z tych powierzchni nie ma szczelin, dziurek czy luk, w które mogłaby wpaść, powiedzmy, spacerująca po nich mrówka. Żadna z obu powierzchni nie ma też brzegu, to znaczy takich miejsc, gdzie spacerująca mrówka stwierdziłaby, że nie jest w stanie kontynuować wędrówki w jakimś wybranym kierunku.

Każdy jednak, kto wie, że łatwiej jest chwycić jedną ręką nadmuchaną dętkę niż nadmuchaną plażową piłkę, intuicyjnie rozumie, że torus różni się od sfery w bardzo istotny sposób. Matematyk mówi, że sfera jest powierzchnią rodzaju zero, a torus - powierzchnią rodzaju jeden. I wie, że obie nie są homeomorficzne, to znaczy jednej z nich nie można przekształcić w drugą w sposób wzajemnie jednoznaczny, bez sklejania ani bez rozrywania powierzchni.

Aby oswoić się z pojęciem homeomorfizmu, spójrzmy na przykłady. Powierzchnia sfery obrotowej, czyli piłki idealnie nadmuchanej, jest homeomorficzna z powierzchnią piłki, z której spuszczono powietrze. Powierzchnia torusa obrotowego, to znaczy nadmuchanej dętki rowerowej, jest z dokładnością do homeomorfizmu tym samym, co powierzchnia kubka z jednym uchem. To też nie tak trudno zrozumieć: gdyby powierzchnia kubka nie była z porcelany, tylko z idealnie elastycznej i rozciągliwej gumy, a wewnątrz ścianek i ucha było powietrze, to łatwo byłoby przekształcić tę powierzchnię w powierzchnię dętki, nic przy tym nie rozcinając ani nie sklejając.

Próby wyobrażenia sobie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia, które ze sfery pozwoliłoby zrobić - bez rozcięć i bez sklejeń! - torus, są skazane na porażkę. Ściślej: wprawdzie niedostatki wyobraźni nie są zamiennikiem ścisłych dowodów, ale matematyk potrafi przytoczyć argument, który odwołuje się do jednospójności.

Otóż sfera jest jednospójna. To znaczy, że składa się z jednego kawałka (co każdy widzi), a ponadto każdą krzywą zamkniętą położoną na jej powierzchni można płynnie, w sposób ciągły i bez rozrywania, zdeformować - czasami mówi się ściągnąć - do punktu. Nietrudno to sobie wyobrazić: wybieramy którykolwiek punkt krzywej i każdy inny punkt krzywej płynnie ciągniemy w stronę wybrańca, z taką prędkością, żeby całą operację ściągania zakończyć w z góry ustalonym czasie, tzn. tak, aby wszystkie ściągane punkty jednocześnie dotarły do celu podróży. Krzywa zmienia się w sposób ciągły i nic nie powoduje jej rozrywania.

Natomiast torus nie jest jednospójny. Wprawdzie też, jak sfera, składa się z jednego kawałka, ale są na nim krzywe zamknięte, których nie można ściągnąć do punktu. Jest np. taką krzywą mały okrąg, wzdłuż którego możemy uchwycić dętkę kciukiem i palcem wskazującym, obejmując ją dookoła tak, że czubki obu palców się dotykają. Krzywą nieściągalną na torusie jest również inny okrąg - ten, wzdłuż którego nadmuchana dętka dotyka obręczy koła rowerowego. Intuicyjnie jest jasne, że żadne próby deformowania tych krzywych nie pozwolą płynnie i bez rozrywania ściągnąć ich do punktu. Żeby wypuścić trzymaną dętkę, trzeba najpierw rozłączyć zaciśnięte wokół niej palce.

Można wykazać, że każdy homeomorfizm zachowuje jednospójność. To niezbyt trudne zadanie. Jeśli zatem coś - cokolwiek, stół, stołek albo kufel z piwem, byle spełniało aksjomaty, jak mówił Hilbert - nie jest jednospójne, to z pewnością nie jest homeomorficzne z powierzchnią sfery dwuwymiarowej. Sfera i torus nie są jedynymi zwartymi powierzchniami - rozmaitościami dwuwymiarowymi - bez brzegu. Początek pełnego katalogu wszystkich powierzchni, z dokładnością do homeomorfizmu, możemy zobaczyć poniżej. Poszczególne powierzchnie uzyskujemy przez doklejanie do sfery kolejnych rączek; łatwo więc sobie wyobrazić, jak wygląda cały katalog.

W drugiej połowie XIX wieku matematycy dobrze wiedzieli, że innych zwartych powierzchni bez brzegu nie ma. Co więcej, jest rzeczą jasną, że wśród wszystkich powierzchni tylko sfera jest jednospójna. Na każdej innej powierzchni jest wiele krzywych, których nie można ściągnąć do punktu. Tego m.in. uczy się dziś praktycznie wszystkich studentów matematyki na świecie, zwykle na drugim lub trzecim roku studiów.