Nauka

Narodziny liczb

Numer 1/2020
Cibora papirusowa. Cibora papirusowa. Doikanoy / Shutterstock
Jakieś 1500 lat temu na terenie Indii dokonała się rewolucja, która wciąż wpływa na nasze życie. Indyjscy uczeni wymyślili pozycyjny system dziesiętny obejmujący pojęcie liczby zero – nie tylko jako symbolu, ale także jako wielkości, którą można wykorzystywać w obliczeniach. Właśnie tym systemem posługujemy się współcześnie.
Pierwszy system dziesiętny.Wiedza i Życie Pierwszy system dziesiętny.
Liczba 2578Wiedza i Życie Liczba 2578
Liczba 4437Wiedza i Życie Liczba 4437
Liczba 1323Wiedza i Życie Liczba 1323
Chińskie symbole liczb.Wiedza i Życie Chińskie symbole liczb.
Chiński system liczbowy.Wiedza i Życie Chiński system liczbowy.
Chińska notacja pozycyjna.Wiedza i Życie Chińska notacja pozycyjna.
Chińska notacja pozycyjna.Wiedza i Życie Chińska notacja pozycyjna.
Chińska notacja pozycyjna.Wiedza i Życie Chińska notacja pozycyjna.
Chińska notacja pozycyjna.Wiedza i Życie Chińska notacja pozycyjna.
Liczba 106929Wiedza i Życie Liczba 106929
Liczby w Indiach.Wiedza i Życie Liczby w Indiach.
Liczebniki sanskryckie.Wiedza i Życie Liczebniki sanskryckie.
Liczba 1776 na abakusie piaskowym.Wiedza i Życie Liczba 1776 na abakusie piaskowym.
BrahmaguptaWikipedia Brahmagupta
Liczba 1776Wiedza i Życie Liczba 1776
Liczba 4 320 000Wiedza i Życie Liczba 4 320 000
materiały prasowe

W Egipcie symbole służące do zapisu liczb pojawiły się ok. 3000 r. p.n.e. Mieszkańcy tego kraju wynaleźli matematykę w celu zaspokojenia konkretnych potrzeb. Pomiary terenu, podział ziemi po wylewie Nilu, planowanie kanałów irygacyjnych, piramid i świątyń, obliczanie ciężaru i podatków – wszystkie te zadania stały się tak skomplikowane, że ludzka pamięć i przekaz ustny przestały wystarczać. Pojawiła się potrzeba zapisywania słów, poleceń, rachunków, tworzenia spisów inwentarza czy ludności. Grecy nazywali egipskie symbole grammata hieroglyphika („rzeźbione święte znaki”) i właśnie od tego określenia wywodzi się używana powszechnie nazwa „hieroglify”. Początkowo hieroglify były piktogramami lub ideogramami (symbolami oznaczającymi słowo lub jakąś ideę), ale później przekształciły się w znaki oznaczające dźwięki (spółgłoski). Wykuwano je na kamiennych monumentach i zapisywano na papirusach, czyli arkuszach materiału przypominającego papier, które wytwarzano z rosnącej w delcie Nilu cibory papirusowej (wygląda jak trawa i osiąga nawet 3 m wysokości). W suchym klimacie Egiptu papirus można przechowywać bardzo długo, dzięki czemu do naszych czasów przetrwało wiele starych dokumentów.

Pierwszy w historii system dziesiętny

Od samego początku Egipcjanie potrafili zapisywać bardzo duże liczby, wykorzystując specjalne hieroglify na oznaczenie liczb 10, 100, 1000 i tak dalej aż do miliona.

Takie symbole stosowano, gdy tekst był pisany od lewej do prawej. Jeśli linię zawierającą liczbę należało czytać od prawej do lewej, powyższe symbole należało zapisać w lustrzanym odbiciu. Metoda tworzenia liczb z tych podstawowych symboli była bardzo prosta. Egipcjanie po prostu powtarzali poszczególne symbole odpowiednią ilość razy. Liczbę 2578 zapisaliby np. tak, jak pokazano poniżej:

Nie istniał symbol oznaczający zero, ponieważ nie był potrzebny do jednoznacznego zapisywania liczb. Obliczenia wykonywano, sprowadzając wszystko do dodawania. Wynika to stąd, że w stosowanym przez Egipcjan systemie liczbowym dodawanie dwóch liczb jest niezwykle proste. Aby zsumować np. liczby 2578 i 1859, wystarczy zebrać wszystkie jednakowe symbole i zastąpić każdą grupę dziesięciu symboli znakiem oznaczającym liczbę wyższego rzędu. To wystarczy, by bez trudu odczytać wynik: 4437.

Mnożenie dowolnej liczby przez 2 jest łatwe, ponieważ wystarczy jedynie dodać tę liczbę do siebie. Mnożenie przez 10 jest jeszcze prostsze, ponieważ sprowadza się do zastąpienia każdego symbolu w danej liczbie symbolem następnego wyższego rzędu. Mnożenie przez każdą inną liczbę sprowadzano w bardzo sprytny sposób do dodawania i mnożenia przez 2.

Liczby w Chinach

Egipcjanie, tak samo jak Grecy i Rzymianie, stosowali zapis liczb bazujący na zasadzie dodawania. Gdy w takim systemie chcemy zapisać jakąś liczbę, musimy jedynie powtórzyć odpowiednio wiele razy symbole oznaczające jeden, dziesięć, sto itd. Weźmy np. rzymską liczbę MCCCXXIII. Występuje w niej symbol oznaczający tysiąc, potem mamy trzykrotnie powtórzony znak oznaczający sto, następnie pojawiają się dwa symbole oznaczające dziesięć, a na końcu są trzy symbole o wartości 1 – wszystkie te znaki zostały powtórzone tyle razy, ile potrzeba, by przedstawić liczbę 1323. Tę samą liczbę zapisaną egipskimi hieroglifami pokazano na poniższej rycinie, która ilustruje „sumacyjną” metodę zapisu liczb.

Około 3 tys. lat temu Chińczycy poszli o krok dalej i opracowali system zapisu wykorzystujący dodawanie i mnożenie. W jej współczesnej postaci, w tej metodzie wykorzystuje się symbole przedstawione w tabeli:

Tak jak wszystkie pozostałe znaki pisma chińskiego symbole te oznaczają słowa. Są po prostu zapisem wyrazów będących liczebnikami, a nie oddzielnymi symbolami służącymi wyłącznie do zapisu liczb. Zatem znak 七 należałoby przetłumaczyć raczej jako siedem, a nie 7.

W języku mówionym Chińczycy posługują się systemem liczbowym, który jest w dużym stopniu zgodny z ogólną zasadą konstruowania liczb przedstawioną w tabeli:

Systematyczny ciąg liczebników

Zapis liczb polega po prostu na wyrażeniu tych słów za pomocą odpowiednich znaków pisma chińskiego. Chińska metoda tworzenia liczebników wykorzystuje jednocześnie dodawanie i mnożenie. Umieszczenie jednego z symboli liczb od 1 do 9 za symbolem oznaczającym jakąś potęgę 10 oznacza dodawanie:

十五 = 10 + 5 = 15, 千五 = 1000 + 5 = 1005

Jeżeli natomiast umieścimy jeden z symboli liczb od 1 do 9 przed znakiem oznaczającym wyższą jednostkę, to będzie to oznaczało mnożenie:

五十 = 5 × 10 = 50, 五千 = 5 × 1000 = 5000

Jak widać, chiński system zapisu liczb różni się od zapisu stosowanego przez nas, ale w obu przypadkach zapisane liczby odczytuje się na głos bardzo podobnie.

W przypadku bardziej złożonych chińskich liczb zasady dodawania i mnożenia łączy się ze sobą praktycznie tak samo, jak robimy to w języku mówionym. Tworzenie dłuższych liczebników jest więc dość proste. Na przykład:

5724 = 五千七百二十四

(= pięć-tysiąc siedem-sto dwa-dziesięć cztery).

Zapisując jeszcze większe liczby, Chińczycy stosują symbol oznaczający dziesięć tysięcy w roli nowej jednostki. Liczba oznaczająca 5 mln wygląda więc następująco (wyłącznie z wykorzystaniem zasady mnożenia):

5 000 000 = 五百万 (= pięć-sto dziesięć-tysięcy).

Taką metodę zapisu liczb stosuje się do dzisiejszego dnia. Za jej pomocą można zapisywać dowolne liczby bez konieczności użycia specjalnego symbolu oznaczającego zero.

Chińska notacja pozycyjna

Około 2 tys. lat temu Chińczycy wymyślili inny system liczbowy oparty na metodzie przedstawiania liczb na deskach do liczenia. Używana przez nich deska była dalekim przodkiem dzisiejszych kalkulatorów. Składała się ze specjalnej szachownicy z kwadratowymi polami, na których układało się patyczki symbolizujące liczby. Patyczki robiono z bambusa, a czasem nawet z kości słoniowej. Przestawianie patyczków symbolizujących liczby w poszczególnych polach było bardzo proste i w czasie wykonywania obliczeń patyczki nieustannie zmieniały swoje miejsce i ułożenie. Później patyczki do liczenia znalazły swoje odzwierciedlenie w dwóch blisko ze sobą spokrewnionych odmianach zapisu, które różniły się tylko układem: w jednym przypadku stosowano układ pionowy, a w drugim – poziomy. Liczby zapisane w układzie pionowym wyglądają tak:

A w układzie poziomym tak:

Symboliczne układy patyczków przedstawiające liczby można było zapisywać albo układać z prawdziwych patyczków w kwadratowych polach deski do liczenia. Kolumna położona najbliżej prawej strony zawierała liczbę jedności, na lewo od niej znajdowały się dziesiątki, potem setki itd.

W takiej sytuacji liczbę 2345 można było przedstawić, stosując np. układ pionowy poprzez umieszczenie patyczków II III IIII IIIII w sąsiednich polach, ale nietrudno zauważyć, że gdyby przypadkiem któryś z patyczków przesunął się do sąsiedniego pola, mogły pojawić się błędy. To prowadziłoby do nieporozumień i nasz układ zmieniłby się niepostrzeżenie w II III IIIII IIII, czyli 2354. Rozwiązanie tego problemu jest tyleż proste, co eleganckie – wystarczy układać patyczki na przemian, raz pionowo, raz poziomo, tak jak pokazano poniżej:

Najczęściej pierwszą liczbę oznaczającą jedności przedstawiano w układzie pionowym, potem następowały dziesiątki w układzie poziomym itd. Wartość każdej „cyfry” zależy od tego, w której kolumnie ją zapisano. Tak długo, jak cyfry umieszczano w kwadratowych polach, nie było potrzeby wprowadzania specjalnego symbolu oznaczającego zero, ponieważ kwadrat niezawierający żadnej wartości zostawiano po prostu pusty.

Podczas zapisywania liczb zazwyczaj nie rysowano kwadratów wokół cyfr, a same cyfry przysuwano coraz bliżej siebie. Puste pole oznaczające zero nie stanowiło najczęściej problemu, ponieważ dwie sąsiednie cyfry zapisane w układzie poziomym (lub pionowym) wskazywały na to, że między nimi musi istnieć „pusta cyfra”. Symbol oznaczający zero wprowadzono w Chinach w VIII w., biorąc przykład z zapisu stosowanego przez uczonych z Indii. Mimo to w dalszym ciągu stosowano naprzemienny układ pionowy i poziomy, np. symbol poniżej oznacza 106929. Takim zapisem liczb posługiwano się przez wiele stuleci nie tylko w Chinach, ale także w Japonii, Korei i Wietnamie.

Liczby w Indiach

Na początku pierwszego tysiąclecia naszej ery w Indiach posługiwano się systemem liczbowym, którego przydatność do celów naukowych była dość ograniczona, a w dodatku nie pozwalał on na zapisywanie dużych liczb. Nie był też zbyt praktyczny, ponieważ zawierał za wiele różnych symboli. Były w nim np. specjalne symbole oznaczające liczby 10, 20, 30, 90, 100, 200, 300, 900 itd. Z naszego punktu widzenia system ten jest interesujący głównie dlatego, że znalazły się w nim cyfry oznaczające liczby od 1 do 9, „zaprojektowane graficznie” specjalnie tak, aby dawało się je łatwo odróżniać. Stosowano przy tym wiele różnych stylów pisma. Poniżej pokazano przykładowy zestaw cyfr. Symbole te są pierwowzorami cyfr, których używamy współcześnie.

Indyjscy uczeni nie posługiwali się jednak tymi symbolami w tekstach pisanych. Opisywali liczby słownie, wykorzystując do tego liczebniki pochodzące z sanskrytu. Oprócz słów oznaczających liczby od jeden do dziewięć sanskryt zawiera też specjalne liczebniki oznaczające kolejne potęgi 10.

W opisie słownym liczby uczeni najpierw wymieniali jedności, a potem przechodzili do kolejnych coraz wyższych potęg liczby 10, czyli postępowali dokładnie odwrotnie do tego, jak robimy to obecnie. Chcąc wyrazić słowami np. liczbę 4567, powiedzieliby saptá sásti pańcasata catúrsahasra (to znaczy: „siedem, sześćdziesiąt, pięćset, cztery tysiące”).

W takiej sytuacji bardzo duże liczby (np. występujące w tekstach poświęconych astronomii) przekładały się na długie ciągi słów. W związku z tym prawdopodobnie na początku piątego stulecia naszej ery uczeni wymyślili doskonały sposób pozwalający przedstawiać liczby w nieco bardziej zwięzły sposób. Chcąc skrócić słowny opis bardzo długich liczb, przestali wymawiać słowa oznaczające potęgi 10 i zostawili tylko liczebniki oznaczające jedności. W powyższym przykładzie powiedzieliby więc po prostu „siedem, sześć, pięć, cztery”. To wystarczało, ponieważ liczebniki zawsze wymieniano w ścisłym, takim samym porządku coraz wyższych potęg 10. Zatem stosowana przez nich metoda czytania liczb była w istocie systemem pozycyjnym.

W systemach pozycyjnych używanych do zapisu liczb w Babilonii i Chinach obowiązywała zasada, że brakujące rzędy wielkości wyraża się poprzez pozostawienie pustego miejsca. Takie rozwiązanie nie było jednak możliwe w przypadku systemu bazującego na recytowaniu liczb. Uczeni indyjscy zaczęli więc wstawiać słowo śunya, znaczące „pustka”, w miejscach, gdzie nie ma żadnej potęgi 10. Mówili więc np. dvi-śunya-tri, by odróżnić 302 od dvi-tri, czyli 32.

Symboliczny zapis liczb i abakus w Indiach

Stosowany w Indiach słowny system pozycyjny nie nadawał się do wykonywania obliczeń. Podobnie jak Chińczycy, Hindusi również posługiwali się w tym celu specjalnymi deskami do liczenia, które miały postać abakusa, czyli przyrządu będącego pierwowzorem liczydła. Przyrządy tego typu odegrały szczególnie ważną rolę w rozwoju systemu pozycyjnego. Posługiwano się nimi na całym świecie. Na długo zanim przyjęły postać znanej nam ramki z koralikami przesuwającymi się po metalowych prętach, były po prostu deskami z pionowymi kolumnami. Najprostszym chyba rodzajem przyrządu do liczenia jest abakus piaskowy, będący po prostu płaską powierzchną pokrytą drobnym piaskiem, na którym rysowano jakimś cienkim narzędziem pionowe linie oddzielające kolumny. Początkowo liczby przedstawiano poprzez umieszczanie w narysowanych kolumnach odpowiedniej liczby patyczków lub kamyków. Nowością w tym przypadku było to, że w celu przedstawienia wartości o różnych rzędach wielkości nie trzeba było stosować różnych przedmiotów. Posługiwano się obiektami jednego tylko rodzaju, np. kamykami (nazywanymi przez Rzymian calculi). Rząd wielkości zaznaczano poprzez umieszczenie kamyków w odpowiedniej kolumnie.

Liczba 1776 na abakusie piaskowym

Gdy ktoś np. chciał dodać do siebie dwie liczby, mógł po prostu dołożyć odpowiednią liczbę kamyków do każdej kolumny i jeśli ich liczba w którejś kolumnie była większa lub równa 10, musiał jedynie usunąć z niej 10 kamyków i dołożyć jeden do kolumny następnej.

Kolumny abakusa zawierające jedności, dziesiątki, setki i tak dalej są w istocie fizyczną realizacją systemu pozycyjnego. W pierwszej kolumnie po prawej stronie zaznaczano zwykle jedności, w kolumnie sąsiadującej z nią z lewej znajdowały się dziesiątki, potem setki itd. Indyjscy uczeni dość szybko wpadli na pomysł zapisywania w poszczególnych kolumnach symboli oznaczających cyfry zamiast umieszczania w nich kamyków lub patyków. Zatem liczba 1776 wyglądała wówczas tak:

Z biegiem czasu symbole używane podczas obliczeń na abakusie zaczęły się również pojawiać w pismach uczonych. Jednak w przypadku abakusa nie było potrzeby stosowania specjalnego znaku oznaczającego zero, ponieważ jeśli jakaś potęga 10 nie miała w danej liczbie żadnej wartości, zostawiano po prostu puste miejsce w odpowiedniej kolumnie. Z kolei w postaci pisanej symbole były skrótem opisu słownego liczb stosowanego w sanskrycie, w którym często występowało słowo śunya lub któryś z jego odpowiedników oznaczających pustkę, czyli brak „cyfry”. Prawdopodobnie ok. 500 r. uczeni indyjscy wpadli na pomysł przedstawiania słowa śunya za pomocą specjalnego symbolu, który miał kształt kropki lub niewielkiego kółka (później znak ten przekształcił się w nasz symbol 0).

Chcąc wykonać obliczenia na abakusie, należało najpierw zapisać w odpowiednich kolumnach poszczególne cyfry, a potem wykonać właściwe działania, zgodnie z bardzo skomplikowanymi regułami, których nauka zabierała dużo czasu. Na początku szóstego stulecia uświadomiono sobie, że symbol oznaczający zero można również wykorzystywać podczas obliczeń. Zaletą takiego rozwiązania było to, że nie istniała już potrzeba rysowania kolumn abakusa, ponieważ symbol śunya zastępował pustą kolumnę. Obliczenia i przekształcenia liczb można było wykonywać bezpośrednio na cyfrach, bez potrzeby wcześniejszego rysowania kolumn, ponieważ ich wartość wynikała jednoznacznie z miejsca, jakie zajmują w liczbie. Dzięki temu matematycy mogli wykonywać wszystkie obliczenia tak samo jak na abakusie. W ten sposób coraz bardziej przyzwyczajano się do zapisywania liczby w notacji stosowanej na abakusie, czyli z cyfrą oznaczającą jedności po prawej stronie. Z biegiem czasu kierunek zapisu liczb również uległ zmianie i zaczął odzwierciedlać porządek cyfr znany z abakusa. Ostatecznie, po długim okresie rozwoju, liczbę 4 320 000 lat, opisującą długość cyklu kosmicznego mahayuga, zaczęto wreszcie zapisywać w postaci pokazanej na rycinie poniżej, która jest taka sama jak zapis stosowany przez nas obecnie.

W 628 r. Brahmagupta, jeden z największych indyjskich matematyków, który kierował pracami obserwatorium astronomicznego w Ujjain, napisał słynne dzieło „Brāhmasphutasiddhānta” (Traktat o Brahmie). Wykorzystał w nim system dziesiętny, opisał rolę zera oraz, co jest szczególnie ważne, przedstawił dokładne reguły wykonywania obliczeń z zerem. Co więcej, Brahmagupta radził sobie z liczbami ujemnymi i opracował wiele różnych metod, dzięki którym mógł m.in. obliczać pierwiastki kwadratowe i rozwiązywać równania. Za panowania kalifa Al-Mamuna (786–833) teksty Brahmagupty trafiły do Bagdadu i zostały przetłumaczone na język arabski. W ten sposób informacja o indyjskim systemie liczbowym przedostała się poza granice Indii, do świata arabskiego, gdzie szybko zdano sobie sprawę z jego pomysłowości i znaczenia. W 825 r. perski matematyk Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi, uczony z Domu Mądrości w Bagdadzie, napisał dzieło zatytułowane „O rachowaniu za pomocą liczb indyjskich”. W Europie nazwisko Al-Chuwarizmiego przekształciło się później w słowo algorytm. Inna jego książka, zatytułowana „Al-kitab al-muchtasar fi hisab al-dżabr wa-al-mukabala” (Krótka księga o rachowaniu przez dopełnianie i równoważenie), zawiera w tytule słowo al-dżabr, z którego później wykształcił się termin algebra.

W ten sposób indyjski system liczbowy szybko rozprzestrzenił się w świecie arabskim, w którym ogromnie ceniono kulturę i naukę. W tym okresie Europa znajdowała się w trudnej sytuacji gospodarczej i była zacofana pod względem kulturowym i naukowym. Właśnie dlatego musiało upłynąć jeszcze kolejne pięćset lat, zanim cyfry hinduskie i indyjski system liczbowy dotarły w końcu do Europy.

***

Fragment pochodzi z książki Alfreda S. Posamentiera i Bernda Thallera „Liczby. Ich dzieje, rodzaje i własności”, przeł. Bogumił Bieniok i Ewa L. Łokas, Prószyński i S-ka 2020.

01.01.2020 Numer 1/2020
Reklama

Czytaj także

Reklama

Ta strona do poprawnego działania wymaga włączenia mechanizmu "ciasteczek" w przeglądarce.

Powrót na stronę główną